A combinatorial analysis of Severi degrees

Based on results by Brugallé and Mikhalkin, Fomin and Mikhalkin give formulas for computing classical Severi degreesN using long-edge graphs. In 2012, Block, Colley and Kennedy considered the logarithmic version of a special function associated to long-edge graphs which appeared in Fomin-Mikhalkin’s formula, and conjectured it to be linear. They have since proved their conjecture. At the same time, motivated by their conjecture, we consider a special multivariate function associated to long-edge graphs that generalizes their function. The main result of this paper is that the multivariate function we define is always linear. The first application of our linearity result is that by applying it to classical Severi degrees, we recover quadraticity of Q and a bound δ for the threshold of polynomiality of N. Next, in joint work with Osserman, we apply the linearity result to a special family of toric surfaces and obtain universal polynomial results having connections to the Göttsche-Yau-Zaslow formula. As a result, we provide combinatorial formulas for the two unidentified power series B1(q) and B2(q) appearing in the Göttsche-Yau-Zaslow formula. The proof of our linearity result is completely combinatorial. We define τ -graphs which generalize long-edge graphs, and a closely related family of combinatorial objects we call (τ ,n)-words. By introducing height functions and a concept of irreducibility, we describe ways to decompose certain families of (τ ,n)-words into irreducible words, which leads to the desired results. Résumé. Basé sur les travaux de Brugallé et Mikhalkin, Fomin et Mikhalkin ont donné des formules pour calculer les degrés de Severi classiques N en utilisant des graphes aux arêtes longues. En 2012, Block, Colley et Kennedy ont considéré la version logarithmique d’une fonction spéciale associée aux graphes aux arêtes longues qui apparait dans la formule de Fomin et Mikhalkin, et ont conjecturé qu’elle est linéaire. Ils ont depuis montré leur conjecture. Au même moment, motivés par leur conjecture, nous avons considéré une fonction spéciale multivariée associée aux graphes aux arêtes longues qui généralise leur fonction. Le résultat principal de cet article est que la fonction multivariée que nous définissons est toujours linéaire. La première application de notre résultat de linéarité est qu’en l’appliquant aux degrés de Severi classiques, nous retrouvons le fait que Q est quadratique et une borne δ pour le seuil de polynomialité de N . Ensuite, dans un travail en commun avec Osserman, nous appliquons le résultat de linéarité pour une famille particulière de surfaces toriques et obtenons des résultats sur les polynômes universels ayant des connexions avec la formule de Göttsche, Yau et Zaslow. En conséquence, nous obtenons des formules combinatoires pour deux séries formelles B1(q) et B2(q) non-identifiées apparaissant dans la formule de Göttsche, Yau et Zaslow. La preuve de notre résultat de linéarité est purement combinatoire. Nous définissons des τ -graphes qui généralisent les graphes aux arêtes longues, une famille étroitement liée d’objets combinatoires que nous appelons les (τ ,n)-mots. En introduisant des fonctions de hauteur et un concept d’irreductibilité, nous décrivons des façons de décomposer certaines familles de (τ ,n)-mots en mots irreductibles, ce qui nous conduit aux résultats souhaités. †Fu Liu is partially supported by NSF grant DMS-1265702. 1365–8050 c © 2016 Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science (DMTCS), Nancy, France